Geometrie auf projektiver Grundlage

zurück zum Vortrag und zum Portal
vorwärts zu den voreingestellten Anwendungsbeispielen

Es geht um die Darstellung von Konstruktionen, die im wesentlichen mit den Mitteln der projektiven Geometrie geschaffen werden. Hintergrund sind die in Einsteins Relativitätstheorie und die Geometrien der Ebene dargestellten Zusammenhänge.

Die Objekte sind Punkte, Linien und Kegelschnitte. Linien und Kegelschnitte werden errechnet. Einer der Kegelschnitte, genauer die Polarität (jeder Gerade wird der Schnittpunkt der Lote auf ihr zugeordnet und umgekehrt), ist der die Geometrie definierende absolute Kegelschnitt. Er wird durch Button im Feld Geometrie gewählt.

Zwischen der internen Ebene und dem Display ist eine Transformation geschaltet, die mit den Knöpfen shift, tip/tilt und size/turn zum Verändern freigegeben wird, was durch Schieben der gedrückten Maus auf dem Display geschieht.

Es gibt zwei Sorten Punkte: solche die per Mausclick eingegeben werden und dann auch ziehbar sind (schwarz), und solche, die sich aus einer Konstruktion ergeben und deshalb nicht isoliert gezogen werden können.

Alle Rechnungen sind eine Folge primitiver Anweisungen (Unterprogramme) wie z.B.
Linie durch zwei Punkte, Schnittpunkt zweier Linien, Kreis durch drei Punkte (im allgemeinen 4 Kreise!) usw.

Punkte (auch die berechneten), Geraden und Kegelschnitte können auf dem Display durch anclicken markiert werden. Wenn man nicht aus Versehen dabei neue Punkte erzeugen will, sollte man den Button 'no set' wählen. Im allgemeinen werden zuerst die Punkte, dann die Linien und schließlich die Kegelschnitte markiert. Je nach Kombination der Markierungen werden im Feld Optionen verschiedene Konstruktionen angeboten.

Im Feld Beispiele sind verschiedene Konstruktionsfolgen voreingestellt, die durch wiederholtes Drücken der oK-Taste aufgebaut werden und verschiedene Zusammenhänge ohne Umschweife vor Augen führen. Schwarze Punkte sind bewegbare Grundpunkte, hellgraue Punkte mit schwarzem Rand sind Handgriffe an Geraden, die mit ihnen bewegt werden können.

Die ab der vorliegenden Version (080508) implementierten Gurndkonstruktionen sind in der nebenstehenden Tabelle aufgeführt.

Markierungsfolge	Konstruktionsoptionen
Gerade	Pol am absoluten Kegelschnitt, Schnitt mit dem abs. K. Tangenten in den Schnittpunkten
Gerade, Conic	Pol Schnittpunkte Tangenten in den Schnittpunkten Spiegelung an der Geraden
Gerade, Punkt	Parallele zur Geraden im Punkt Fußpunkt der Parallelen Spiegelung an der Geraden
2 Geraden	Schnittpunkt Winkelhalbierende Fußpunkte dazu Spiegelung an der ersten Geraden
3 Geraden	4 berührende Kreise
5 Geraden	berührender Kegelschnitt
Punkt	Polare am abs. Kegelschnitt Tangenten an den abs. K. Berührpunkte der Tangenten
Punkt, Conic	Polare Tangenten Berührpunkte der Tangenten Spiegelung am Punkt
Punkt, Gerade	Lot Fußpunkt des Lots Spiegelung am Punkt
1 Punkt, 2 Geraden	Vierte (zum Punkt) harmonische Gerade
1 Punkt, 4 Geraden	2 Kegelschnitte
2 Punkte	Linie Strahl Strecke Mittelpunkte Mittelsenkrechten Kreis Spiegelung am ersten Punkt
2 Punkte, 1 Gerade	Vierter (zur Geraden) harmonischer Punkt Ellipse
2 Punkte, 3 Geraden	4 Kegelschnitte
3 Punkte	Dreieck innerer Umkreis innerer Mittelpunkt 4 Umkreise Fußpunkte mit Höhenschnittpunkt
3 Punkte, 2 Geraden	4 Kegelschnitte
4 Punkte, 1 Gerade	2 Kegelschnitte
5 Punkte	Kegelschnitt

Anwendungsbeispiel

Jenseits des Unendlichen

Die projektiv-metrischen Geometrien der Ebene haben zwei besondere Eigenschaften. Sie gestatten erstens die Benutzung des Lineals, weil es geradentreue Karten dieser Geometrien gibt, und sie gestatten die Betrachtung von Krümmung auch für indefinite Maßbestimmungen, wie sie in der Relativitätstheorie verwendet werden müssen.

Alles Dreieck

drei Punkte, die bewegt werden können
drei Seiten dazu
Umkreis
Mittelpunkt und Seitenmitten
Höhenfußpunkte
Höhenschnittpunkt
Feuerbachkreis mit Mittelpunkt
Höhenmitten
Schwerpunkt
Eulersche Gerade. In den Geometrien mit Krümmung liegen im allgemeinen weder der Schwerpunkt noch der Mittelpunkt des Feuerbachkreises auf der Verbindung von Umkreismittelpunkt und Höhenschnittpunkt

Feuerbach und die 16 Ankreise

drei Punkte, die bewegt werden können
drei Seiten dazu
Höhenfußpunkte
Höhen und Höhenschnittpunkt
Feuerbachkreis
Seitenmitten
Höhenmitten
4 Ankreise
nochmal 4 Ankreise
nochmal 4 Ankreise
nochmal 4 Ankreise

Rechte Winkel und Halbierung

zwei Punkte, die bewegt werden können, und die Verbindungsgerade
Senkrechte auf einem der Punkte (dazu Hilfspunkt)
zwei weitere Lote zum Rechteck
Diagonalenkreuz (eigentlich restliche zwei Seiten des Vierecks)
Diagonalpunkt im Schnittpunkt
noch zwei Diagonalpunkte (auf der Ferngeraden)
noch zwei Seiten des Diagonalpunktdreiecks, die die Seiten des Rechtecks halbieren
Nun muss die Zeichenebene gekippt werden, um die Eigenschaften des vollständigen Vierecks und der harmonischen Teilung zu sehen

Stereographische Projektion

Ein unendlich lange Gerade soll über einen Kreis vollständig auf ein begrenztes Intervall projiziert werden. Der Mittelpunkt des Kreises und der Berührpunkt mit der Ausgangsgeraden können bewegt werden. Der Punkt der projiziert werden soll, wird mit dem Griffpunkt einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises gewählt. Damit sind zwei Schnittpunkte mit dem Kreis bestimmt, die aus dem Gegenpol zurückprojiziert werden. Die Gerade wird einmal auf das Innere und zum anderen auf das Äußere des Intervall projiziert. Die Randpunkte des Intervall sind das Bild des Unendlichen. Jenseits des Unendlichen finden wir das zweite Abbild der Geraden, also vorläufig nichts Neues.
Hier soll nun das Bild eines orthogonalen Netzes gezeigt werden. Leider sieht das noch gar nicht gut aus, ich arbeite dran.

Lobachevski-Geometrie: Spiegelung

Wenn die Lobachevski-Geometrie eingeschaltet ist, erscheint ein Kreis in Rot (das metrisch Unendliche, wie sich zeigen wird) und eine Gerade g, die mit den beiden Griffpunkten bewegt werden kann, und deren Punkte auf ihr gespiegelt werden sollen.
zwei Tangenten, ihr Schnittpunkt ist der Pol P[g] der Geraden (der Schnittpunkt aller Lote auf der Geraden)
ein Lot auf der Geraden, das mit einem Griffpunkt bewegt werden kann, und das nun die Rolle eines Spiegels s übernehmen soll.
der Pol P[s] des Spiegels und die beiden Tangenten, die das Unendliche in den Punkten berühren, in denen es vom Spiegel geschnitten wird
mit dem Griffpunkt einer weiteren Geraden a durch den Spiegelträger wählt man einen Punkt A auf der Ausgangsgeraden, der nun an s gespiegelt werden soll.
Wir wissen von a, dass der Punkt P[g] in sich selbst gespiegelt wird, und dass der Schnittpunkt U[a] mit dem Unendlichen wieder auf einen Punkt des Unendlichen gespiegelt wird. Die Verbindung der beiden muss lotrecht auf dem Spiegel stehen, also durch P[s] gehen muss. So finden wir den Punkt s[U[a]],
verbinden ihn mit P[g] und finden so s[A]. Stellen wir den Schnitt bzw. die Verbindung durch ein Kreuz dar, wir die Konstruktion durch
s[A] = g x (P[g] x (U x (P[s] x (U x (P[g] x A)))))
beschrieben
Man bewege die vier Griffpunkte.
Bewegen wir den Spiegel, sehen wir, dass das Bild von A immer innerhalb des roten Kreises bleibt. Dieser Kreis (der absolute Kegelschnitt) ist also tatsächlich das Unendliche, da der Abstand des Spiegels von A gleich dem von seinem Spiegelbild sein muss, und der Spiegel rekursiv auf das jeweils erreichte Spiegelbild von A gesetzt werden kann. Leider fehlt die Spiegelkonstruktion für den Fall, dass die Spiegelgerade das Unendliche nicht schneidet. Das ist zwar für die Lobachevski-Geometrie uninteressant, würde aber zeigen, dass diese Spiegelungen nichts Anderes als die Spiegelungen am nun innen liegenden Pol der Spiegelgeraden sind.

Lobachevski-Geometrie: Kreise

Wenn die Lobachevski-Geometrie eingeschaltet ist, erscheint ein Kreis in Rot (das metrisch Unendliche, wie sich zeigen wird) und ein Kegelschnitt um einen Punkt M, der bewegt weden kann.
auf dem Kegelschnitt erscheint ein Griffpunkt Q, mit dem der Kegelschnitt verändert werden kann, und eine Gerade s durch den Mittelpunkt, die ebenfalls mit Griffpunkt bewegt werden kann.
Mit den Tangenten an das Unendliche findet man den Pol P[s].
Wir konstruieren das Spiegelbild von Q an s, indem wir zunächst den Pol P[a] der Verbindung a von Q und P[s] bestimmen.
Die bekannte Konstruktion ergibt den Punkt s[Q].
Bewegen wir den Spiegel s mit seinem Griffpunkt, läuft s[Q] auf dem Kegelschnitt durch Q. Dieser Kegelschnitt ist ein Kreis um den Mittelpunkt Q: Gibt es zu einem Kegelschnitt einen Punkt M, so dass der Kegelschnitt an jeder Sehne durch M (d.h. an jedem Durchmesser) in sich selbst gespiegelt wird, so ist er ein Kreis. Alle Punkte auf dem Kegelschnitt sind von M gleich weit entfernt.

Definition der Kreise

Gibt es einen Punkt M derart, dass die Tangenten in den Schnittpunkten der Sehnen durch M mit dem Kegelschnitt durch den Pol der Sehne gehen, ist der Kegelschnitt ein Kreis. An einem Kreis müssen die Tangenten in den Endpunkten der Durchmesser senkrecht auf dem Durchmesser stehen.
Bewegen Sie Mittelpunkt, Peripheriepunkt und Griffpunkt des Durchmessers

Alle Umkreise eines Dreiecks

für die volle Schönheit wählen Sie elliptische, Lobachevski, Anti-Lobachevski oder deSitter-Geometrie. Die drei Punkte können bewegt werden.
Wir betrachen die Seite AB.
Sie hat eine Mittelsenkrechte, deren Pol die zweite Seitenmitte ist. Die Spiegelung, die A in B spiegelt, lässt die beiden Seitenmitten und die Lote in ihnen unverändert. (Für die entarteten Geometrien liegt die zweite Seitenmitte im Unendlichen.)
hier ist die zweite Mittelsenkrechte
hier sind die Mittelsenkrechtenpaare auf den beiden anderen Seiten
es gibt vier Schnittpunkte von Mittelsenkrechten dreier verschiedener Seiten,
also auch vier Umkreise, d.h. Kreise, die durch alle drei Eckpunkte gehen. In den entarteten Geometrien sind die Radien dieser Kreise nicht alle endlich (sieht ziemlich bescheuert aus, sind noch zu viele Ratten drin).

Winkel im Unendlichen sind Null

Wenn die Lobachevski-Geometrie eingeschaltet ist, erscheint ein Kreis in Rot (das metrisch Unendliche), und eine Sehne mit Pol (dem Träger aller Spiegel, die die Sehne in sich selbst spiegeln). Der Pol ist auch der Griffpunkt der Sehne.
Durch den Pol und einen der Sehnenrandpunkte (P) werden zwei Geraden mit Griffpunkt gelegt
Das Spiegelbild der letzteren findet sich über die Spiegelung der Tangenten an das Unendliche. Es geht durch den anderen Randpunkt Q der Sehne. Die Winkel bei P und Q sind gleich, denn sie sind Spiegelbilder voneinander.
Bewegen Sie den Spiegel mit Hilfe seines Griffpunkts, dann verändert sich der Winkel bei Q, nicht aber der bei P. Alle Winkel bei Q sind gleich dem Winkel bei P, also müssen alle diese Winkel das Maß Null haben. Schneiden sich zwei Geraden im Unendlichen, bilden sie einen Winkel vom Maße Null.

Längen auf den Tangenten sind Null

Wir schieben die Zeichnung von eben nach oben (shift einschalten) und sehen uns den Außenteil der Zeichnung an. Wir finden den Schnittpunkt B der Geraden durch P und der Tangente aus dem Spiegelträger A an das Unendliche.
Mit der Vorschrift für die Spiegelung der Tangenten finden wir Das Spiegelbild C. Es gilt natürlich AB = AC.
Bewegen wir nun den Spiegel mit seinem Griffpunkt (dazu muss wieder no set geschaltet werden), bewegt sich C auf der einen Tangente durch A, B bleibt aber fest. Also sind alle Strecken AC auf der Tangente gleich AB. Das geht nur, wenn alle diese Strecken das Maß Null haben.

DeSitter-Geometrie und Minkowski-Geometrie

Wenn die deSitter- oder Minkowski-Geometrie eingeschaltet ist, erscheint ein Spiegel mit zwei Griffpunkten, ein Punkt A und eine zunächst sehr enge Dreiergruppe.
Wir spiegeln die Tangenten durch A
und erhalten das Spiegelbild B von A.
Nun werden Sie aufgefordert, den Punkt A und die beiden Griffpunkte des Spiegels dicht an die Dreiergruppe heranzuziehen, damit sie im Gesichtsfeld bleiben, wenn nun die Szene vergrößert wird (size/turn schalten).
Wiederholen Sie das, bis das Dreieck Start-Umkehrpunkt-Ziel groß sichtbar ist. Dann werden auch zwei Griffpunkte sichtbar, die später zum Markieren beutzt werden sollen.
Wir schieben A auf den Umkehrpunkt, einen Griffpunkt auf Start, und bewegen mit dem anderen den Spiegel so, dass B auf die Linie Start-Ziel fällt. Start-B ist nun gleich lang wie Start-A. Wir markieren nun B mit Hilfe eines freien Griffpunkts.
Diese Prozedur wird für das Ziel wiederholt. Nun ist Ziel-B gleich lang wie Ziel-A. Man erkennt, dass der Umweg Start-Umkehrpunkt-Ziel kürzer als der direkte Start-Ziel ist (Zwillingsparadoxon).

DeSitter-Kreise

Wenn die Lobachevski-Geometrie eingeschaltet ist, erscheint der absolute Kegelschnitt, ein Punkt außerhalb und ein Kegelschnitt, von dem wir zeigen wollen, dass er ein Kreis ist.
Schieben Sie das Bild nach oben, bis der Punkt auf der Peripherie und der graue Griffpunkt zu sehen sind.
Es erscheint nun eine grüne Spiegelgerade durch A, die mit dem Griffpunkt bewegt werden kann, und das Spiegelbild des Peripheriepunktes, der auch bewegt werden kann. Die Spiegelbilder der Peripheriepunktes bleiben alle auf dem durch ihn und A bestimmten Kegelschnitt. Dieser ist also ein Kreis mit dem Mittelpunkt A. Im Äßeren des absoluten Kegelschnitts berühren alle Kreise das Unendliche.

zurück zum Seitenanfang, zum Vortrag und zum Portal